Já coloquei um link a explicar o conceito de integral e que inclusivamente ensina a calcular a área de uma parábola. 
desculpa… nao vi…
entao a ajuda está dada…
o trabalho é dado pelo integral da força ao longo de um deslocamento… se a força varia com o proprio deslocamento entao é necessario fazer esse integral (a formula w=f*d é um caso particular, mas o mais comum… a força nao depende do deslocamento e assim um integral de f (começando em 0) ao longo desse deslocamento dá simplesmente fxr…)
no caso apresentado é necessario fazer o integral da força dada, no caso f=15d^2… entao é só fazer o integral, que neste caso corresponde á area definida por essa parabola e é um dos casos mais simples de primitivas (em termos simples é uma derivada ao contrario…)
ha uma coisa que nao percebo… o que é que eles pedem na segunda questao?.. aquela parte da energia… é o trabalho do motor durante esses 20 e tal metros ou a diferença entre o trabalho do motor e a energia potencial da carga?..
eu sei que acaba por ser insignificante pois é facil calcular as duas e pode-se dar as duas respostas explicando o que é cada uma delas… mas o que é que pede o enunciado?..
PS. estive a ler melhor a questao e acho que é a diferença… se for isso, assim de cabeça deve dar uns 20 kJ…
Eu estava a escrever um texto todo bonitinho para explicar ao rapaz o cálculo das derivadas e integrais, quando fui para postar tinha o cabo da net desligado, e foi-se tudo >:D .
De qualquer das formas fica a solução para o cálculodo trabalho que será penso eu trabalho=5d^3 . Se tiveres dúvidas em como chegar ao resultado é só dares uma apitadela.
Quanto às perguntas em si eu não percebi muito bem o que eram, porque não percebo nada de fisica, só tive fisica no oitavo e nono ano, não faço a minima ideia do que é o tijolo-terra ;D
E no cálculo para a força não usei os 100Kg para nada, talvez seja necessário para a segunda parte…
Também nunca aprendi integrais, apenas derivadas, mas lá acabei por perceber que se uma pessoa compreender as segundas, compreende as primeiras, não é difícil de todo.
nao é a diferença… acho que é a soma… neste caso a energia potencial aumenta com o aumento da energia cinetica…
temos a variacao da energia cinetica que é igual ao trabalho (neste caso, como já foi referido, é igual ao integral de 15d^2 que é 5d^3…) … como a energia cinetica inicial é 0 (sistema em repouso) a final será igual ao proprio trabalho… para 20 metros dá uma energia cinética final de 40kJ… no entanto a energia potencial tambem aumentou (está a subir…)… no inicio a energia potencial será 0 (a carga está no “chao” ou seja altura igual a 0) e no final será igual a mgh, para 20 metros dá mais ou menos 20 kJ…
o acrescimo de energia ao sistema será a diferença entre a energia inicial e a final… no inicio era 0 (em repouso e no chao) no final será 40 (do movimento - energia cinetica) + 20 (da altura - enrgia potencial)= 60 kJ…
acho que é isto…
por outro lado isto é um exemplo apenas académico… uma energia cinetica de 40 kJ aplicada a esta carga (100 kg) dá uma velocidade para aí de 100 km/h…
é a diferença entre foruns de Sportinguistas e de outros, uns falam de ciencia outros na melhor maneira de bater na esposa quando a equipa perde. :mrgreen:
:lol:
Bem, voltei, desculpem lá ter deixado o tópico assim, mas a escola não perdoa. Agora que já estou livre de testes e de trabalhos, vou retomar com este assunto.
Em primeiro lugar, acho que o facto do corpo ser de 100kg não serve para nada nos exercícios. Apenas nos pedem para relacionar trabalho, força e deslocamento, não velocidade.
Estive a ver o link que o Eddie Verde me sugeriu. Percebi até à parte em que se está a dividir a curva em várias partes, e calcular a área dos diferentes rectângulos(pintados a verde). que vai dar uma aproximação da área daquela “coisa”. Depois a partir daí, começa a meter fórmulas que uma pessoa fica ^-^ . Mas então a derivada(ou integral, seja lá o que for) é apenas uma aproximação do valor real? Foi isso que me deu a entender até aquela parte. Vou deixar aqui o ficheiro do exercício para poderem compreender melhor e ajudar-me. Tem soluções, mas o objectivo é tentar saber como se chegou até ali. O primeiro já o fiz.
nao…
é mesmo o valor real…
já deste derivadas?..
eu imagino assim: tenho uma funçao… quando faço a derivada dá-me algo mais “pequeno” que a funçao, quando faço uma primitiva (ou integral… a diferença é que o integral leva os intervalos onde queres integrar a funçao) dá-me algo maior…
imagina que tens uma área… quando integras ficas com um volume, quando derivas ficas com uma linha…
imagina que tens uma linha (que é o teu caso…)… quando integras ficas com uma area, quando derivas ficas com uma inclinaçao…
em termos simplistas é isto…
o modo como se chegou ás regras de derivaçao e primitivaçao nao sei como foi (penso que tenha a ver com essas aproximaçoes. e com series e tretas dessas…)…
o que é certo é que elas existem e até têm muita utilidade na maioria dos ramos que mexem com matematica (em engenharia é á paulada…) e o modo de resolver é decorando as regras…
“spoiller”
o integral da funcao 15d^2 é igual a 5d^3… isto normalmente faz-se ao contrario (pelo menos eu…) ou seja vendo qual é a funcao que teria como derivada a funçao 15d^2 pois as derivadas sao mais faceis que as primitivas (para mim…)…
o que vou fazer é mostrar-te a regra de derivaçao de uma funcao do tipo a*x^p… a é a constante (no teu caso 5), x a a variavel (no teu caso d…) e p a potencia a que esta elevada a variavel (no teu caso 3)…
neste caso a derivada é igual a : apx^(p-1)… depois é so andar para tras… tens 15d^2… o primeiro passo é saberes qual vai ser a potencia… ora se baixa um com a derivada sobe um com a integracao, ou seja passas a ter ad^3… o segundo e ultimo passo é saberes quanto vale o a… tu sabes que o multiplicador na derivada vale 15, mas que esse 15 é resultado do a da funcao “acima” multiplicada pelo p (da formula da derivada a bold…)… ora se na derivada tens 15 e sabes que esse 15 é igual ao a3 é facil ver que o a vale 5…
depois precisas dos intervalos de derivaçao ( o ponto minimo de d -0- e o ponto maximo de d -20.3-)… calculas o valor do integral substituindo d por cada um deles (0 e 20,3) e fazes a diferença f(20,3) - f(0)… (f=5*d^3)…
e pronto já tens o valor da área…
pela soluçao só pedem o valor da energia cinética (que é o valor dessa área…)
mas depois hás-de peguntar ao teu professor se a energia é só essa (era a minha duvida…)… é que eu tambem nao sei e gostava de saber…
é que pela minha lógica tu tens uma energia inicial no sistema igual a 0 eao fim de 20,3 metros a subir tu tens uma energia cinetica de 40 e poucos kJ, mas tambem tens uma energia potencial de 20 e poucos kJ… a minha duvida é se essa energia potencial nao entra no aumento da energia do sistema… é porque a minha ideia é que a energia total é igual á soma da energia cinetica com a energia potencial… se puderes tira-me esta duvida…
quanto ao resto nao ha muito que eu te possa explicar… se leres este topico de cima abaixo está cá tudo…
sim sim, a solução diz respeito ao trabalho(que penso que esteja relacionado com energia cinética). Pelo menos, fui espreitar ao meu livro de física ver essas coisas, e vi um gajo a tentar empurrar o carro. Como o carro nao se mechia(não havia energia cinética), o homem, fisicamente, não fazia trabalho nenhum(apesar da força ser muita, o deslocamento é nulo, logo o trabalho é zero - W=F*D) :rotfl:
Quanto ao problema, não percebi patavina. O que são, afinal, derivadas, integrais e primitivas? 
Tenho que perceber primeiro todas as ideias antes de começar a meter valores, então com letras não dá nada. A derivada vai ser a inclinação da recta e a integral a área? Desculpem lá a ignorância, mas no google encontro tabelas, expressões que nunca mais acabam, as regras das derivadas/integrais mas nunca: “Uma integral é isto, isto, isto, e a partir daí vais poder fazer isto isto e aquilo” “Uma derivada é isto, isto e aquilo, e assim consegues obter o valor de qualquer coisa” Quem não se importar em escrever um textinho de linguagem de miúdos, faça o favor :mrgreen:
vai ver a definiçao de derivada e de integral á wikipedia… acho que lá está bem explicado…
Em Economia, a definição que mais usamos para derivada é a de varição mas sempre de uma forma aproximada e deverá ser a isso que te referes (a derivada na realidade é a variação instantânea, penso que aproximada).
A deriviada pode ser utilzada como uma aproximação ao cálculo diferencial.
Imaginemos que temos a função Y=X^2
Quando fazemos a derivada de Y em ordem a X dará 2X. O resultado da derivada é definido como a aproximação da varição de Y quando X varia uma unidade. Matematicamente é expresso por dY/dX=2X
Nota: não sei se sabes chegar ao resultado mas pode-se chegar lá através de cálculo matemático ou através da fórmula, eu e toda a gente utilizamos o cálculo pela fórmula porque é mais simples mas em principio quando começares a dar isto na escola a primeira coisa que te impingem é o cálculo matemático (que também é importante).
Esta equação é do tipo Y=aX^b, sendo que “a” e “b” correspendem a constantes no caso do exemplo que estou a dar a=1 e b=2.
A formula é dY/dX=abX^(b-1) ou seja fazendo as contas dará o resultado que indiquei que é 2X. Imaginemos que a função era Y=3X^3+4 utilizando a fórmula dY/dX=33X^(3-1) =9X^2, nota que o 4 que é a constante a somar não faz variar o Y com a alteração do X (a derivada de uma constante a somar “sózinha” é zero) e logo não interessa no cálclo da derivada.
Muitas outras formulas para diferentes funções existem, podes sempre que encontrares uma função que não consigas derivar (ou primitivar) colocar aqui que agente ajuda.
Agora com uma matemática simples podemos passar o dX (variação de X) para o outro lado a multiplicar e ficamos com dY=2XdX (e aqui está o cálculo diferencial, ou seja, saber quanto varia aproximadamente o Y quando X varia qualquer número de unidades.
Mas é fácil de provar que se trata de uma aproximação ao cálculo diferencial.
Imaginemos que estamos no ponto X=1 e queremos saber qual é a variação do Y quando X passa para 3.
a) Vamos fazer o cálculo das variaçõs sem derivadas:
Então quando X=1 implica que Y=1^2=1
Quando X =3 implica que Y=3^2=9
Ou seja por cálculos sem derivadas concluimos que a variação de Y quando X varia de 1 para 3 é igual a 9-1=8
b) Vamos agora pelo cálculo das derivadas
Como vimos a formula para a cálculo diferencial desta função era dY=2XdX
Os dados são então X=1 (o nosso ponto de partida) e dX=2 (porque queremos que X varie duas unidades)
dY=212=4
Ou seja os dois resultados para além de nem sequer serem iguais eles são muito distantes. Já explico o porquê vamos ver outro exemplo.
Imaginemos que a função é a mesma (Y=X^2) e que o ponto de partida é o mesmo (X=1) mas que agora queremos saber não quando X passa para 3 mas para 1.001
a) cálculo da variação sem derivadas
Quando X=1 como já vimos Y=1
Quando X=1.001 Y=1.002001
Ou seja a variação real é igual a 0.002001
b) Através do calculo das derivadas
com X=1 e dX=0.001
dY= 210.001=0.002
Ou seja um valor muito próximo daquele que acontece na variação real.
Concluimos assim que a utilização das derivadas pode ser um importante instrumento para o cálculo das variação da variável dependente quando varia a variável independente mas sempre para pequenas variaçãoes do X (ver. ind.)
No caso desta função quadrática simples a derivadadará a inclinação da recta tangente à curva em cada um dos pontos (recta tangente é a que toca em um e um único ponto a função) e assim fica fácil de perceber o porquê de ser uma aproximação. O que calculámos nas alineas b) foram variações de X na recta tangente e não verdadeiramente na função inicial. A recta tangente tocará em X=1 mas se a desenhares ela estará sempre abaixo do gráfico da função Y=X^2 e quanto mais te afastares do ponto X=1 mais afastada ela está do valor real.
Assim e concluindo quanto maiores forem as variações de X pior é utilizar as derivadas porque os seus valores estarão mais afastados do real, só se poderá utilizar para variações pequenas, e se a variação do X for grande é um erro utilizar derivadas.
Só uma nota para dizer que quando fazes a derivada de uma função a maior parte das vezes não será a recta tangente (se a equação for cúbica por exemplo) mas a interpretação é a mesma ao nível do cálculo diferencial e conclui-se também que se pode fazer apenas para variações pequenas.
Quanto aos integrais estes dão-nos a área abaixo de de uma função, e são o “contrário das derivadas”. E podem ser utilzados tal e qual como as devivadas em muitos aspectos. Um exemplo é o teu exercicío em que te era pediada a área de uma função não linear (também podias ter calculado a área na primeira parte do exercício através do integral e ia-te dar o mesmo porque as funções eram lineares). Outro exemplo, e talvez o mais claro, em que são utilizados integrais é no calculo de probabilidades em que tens uma função de probabilidade (normal, Poisson…) e em que a área abaixo dessa curva tem que ser sempre 1 (porque não há probabilidades maiores que 1).
Espero ter sido claro, e estar correcto, se tiveres dúvidas ou quiseres que façamos uns exercícios para perceberes é só dizeres.
Já agora Andrew tens que dizer até que parte não percebes este assunto, porque se não perceberes as derivadas convenientemente dificilmente perceberás os integrais, é melhor começar pela base.
Acho que para ti e para quase toda a gente. ;D
As derivadas têm lógica. As integrais também, mas requer mais abstracção e se não se compreender este universo, as derivadas tornam-se difíceis e as integrais quase impossíveis.
Se leres o artigo da Wikipédia, fá-lo na versão inglesa que me parece mais simples de entender que o da portuguesa: http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative
Já consegui chegar lá. Desculpem nao ter respondido mais a este tópico. Depois de compreender, torna-se muito mais fácil 
Ah, e acho que a stora tava na dúvida entre o 17 e o 18, e por causa deste trabalho, deu-me o 18. Por outras palavras, fui salvo por uma integral :lol: